图

1.1 图的定义及其组件

图— 是一种数据结构，由多个顶点（或节点）和连接这些顶点的边（或弧）组成。图广泛用于建模和表示各种对象及其关系。

图的主要组件：

顶点：

• 图的元素，表示对象。
• 表示为 V（顶点集合）。
• 例如，V = {A, B, C, D}。

边：

• 顶点之间的连接，表示关系或链接。
• 表示为 E（边集合）。
• 例如，E = {(A, B), (B, C), (C, D), (A, D)}。

图的主要特征：

顶点的度：

• 与某顶点相邻接的边的数量。
• 在无向图中，顶点的度是连接该顶点与其他顶点的边的数量。
• 在有向图中区分顶点的入度和出度。

图中的路径：

• 连接一系列顶点的边的序列。
• 例如，从A到D的路径：A → B → C → D。

图中的环：

• 从同一个顶点开始和结束的路径。
• 例如，环：A → B → C → A。

1.2 图的种类

图有很多种，但其中有些特别有趣：

1. 无向图：

这种图的边没有方向，即两个顶点之间的连接可以双向通过。

例子：

社交网络，其中节点表示人，边表示他们的友谊。

2. 有向图：

图的边有方向（通常标记为箭头），即两个顶点之间的连接只能单向通过。

例子：

网页链接图，其中节点是页面，边是它们之间的链接。

3. 加权图：

边有权重（数字），可以表示距离、成本或其他度量。

例子：

道路图，其中节点是城市，边是具有长度或通行成本的道路。

4. 混合图：

包含有向边和无向边。

例子：

运输系统，其中一些道路是双向的，而其他是单向的。

5. 平面图：

可以在平面上绘制而不交叉的图。

例子：

城市中的道路图（没有隧道）。

6. 连通图：

任意顶点对之间都有路径的图。

例子：

表示城市网络的图，其中每对城市都有道路相连。

7. 无环图：

不包含环的图。

例子：

表示文件系统结构的树。

1.3 图的应用实例

1. 社交网络：

• 节点表示人，边表示他们之间的友谊。
• 用于分析连接，发现社区，用户影响力等。

2. 互联网和路由：

• 节点表示路由器或计算机，边表示它们之间的连接。
• 用于寻找数据传输的最佳路径。

3. 基因组学：

• 节点表示基因或蛋白质，边表示它们之间的相互作用。
• 用于分析基因组数据，寻找模式等。

4. 物流和运输：

• 节点表示城市或运输节点，边表示道路或路径。
• 用于优化配送路线，最小化成本等。

5. 计算机网络：

• 节点表示设备或服务器，边表示它们之间的连接。
• 用于网络的设计和管理。

6. 数据分析和机器学习：

图用于数据的表示和分析，寻找集群，创建推荐系统等。