树作为图的一种特殊类型

2.1 树的主要组成部分

树是一种特殊类型的图，它是 无环的且 连通的。在树中，任何一对节点之间都有唯一的路径，这使得它的结构 层次化。

树的主要组成部分：

1. 节点：

• 树的基本元素，它们包含数据。
• 例如，图中的每个圆圈代表一个节点。

2. 根节点：

• 没有父节点的节点。它是树的起点。
• 例如，图中的顶端节点。

3. 叶子节点：

• 没有子节点的节点。它们位于树的“末端”。
• 例如，图中的底部节点。

4. 边：

• 节点之间的连接。定义了节点之间的父子关系。
• 例如，图中连接节点的线。

5. 子树：

• 由一个节点及其所有后代构成的任何树的子集。
• 例如，树从一个节点开始的分支。

树的重要特性：

1. 树的高度：

• 从根节点到最远叶子节点的路径长度。
• 例如，图中的层级数量。

2. 节点的深度：

• 从根节点到给定节点的路径长度。
• 例如，从根节点到特定节点的层级数量。

2.2 二叉树

可以区分不同类型的树。我们从最简单的开始。

二叉树是每个节点最多有两个子节点的树，它们被称为左子和右子。

二叉树示例：

特别类型的二叉树：

完全二叉树：

除了最后一层之外，树的所有层都被完全填满，并且最后一层的所有节点尽可能靠左。

完美二叉树：

所有内部节点都有正好两个子节点，并且所有叶子节点都在同一层上。

平衡二叉树：

任何节点的子树的高度差不超过1。

二叉搜索树：

对于任何节点，其左子树仅包含较小值的节点，而右子树仅包含较大值的节点。

2.3 n叉树

n叉树是每个节点最多可以有n个子节点的树。

特别类型的n叉树：

1. 三叉树 (Ternary Tree)：

每个节点最多有三个子节点。

2. k叉树 (k-ary Tree)：

每个节点最多有k个子节点。

3叉树示例（每个节点最多有三个子节点）：

2.4 树的应用示例

1. 文件系统

树的应用：在操作系统中表示文件和文件夹的层次结构。

根节点表示根目录，内部节点是文件夹，而叶子节点是文件。操作包括创建、删除和移动文件及文件夹。

2. 决策树

树的应用：用于分析和机器学习中的决策制定。

内部节点表示问题或条件，分支表示可能的答案，而叶子是最终的决定或行动。例如，在医学上根据症状进行疾病诊断。

3. XML/HTML 文档

树的应用：以XML或HTML格式表示结构化数据。

根节点表示整个文档，内部节点是标签和元素，而叶子是文本节点和属性。这有助于解析和操作文档内容。

4. 组织结构

树的应用：表示组织和公司的层次结构。

根节点代表首席执行官，内部节点是经理和部门，而叶子是员工。这有助于可视化和管理组织结构。

5. 国际象棋

树的应用：表示游戏中的可能走法。

根节点表示游戏的初始状态，内部节点是可能的走法，而叶子是游戏的最终状态。这有助于在国际象棋程序中规划策略并做出决策。