并行算法及其复杂度

6.1 并行算法。

并行算法是为了在多处理器或者多线程系统上执行而设计的，旨在加速计算。它们把任务分成独立的子任务，这些子任务可以同时执行。分析并行算法的复杂度需要考虑时间和空间复杂度，以及加速、效率和可扩展性等因素。

并行算法的基本概念

• 并行性: 将任务划分为多个子任务，可以同时执行。
• 加速 (Speedup): 顺序算法的执行时间与并行算法的执行时间的比值。
• 效率 (Efficiency): 加速与处理器数量的比值。
• 可扩展性 (Scalability): 并行算法有效利用增加的处理器数量的能力。

并行算法的优势：

• 加速执行: 通过并行处理加快任务执行。
• 资源的有效利用: 优化处理器和内核的使用。
• 解决大型任务: 能处理大数据量和复杂计算，这在单个处理器上是不可能的或者非常慢。

并行算法的时间复杂度

并行算法的时间复杂度是考虑所有并行子任务和它们之间的同步所花费的时间。包括：

• 理论时间复杂度: 在无限数量处理器上的理想执行时间。
• 实际时间复杂度: 考虑处理器数量限制和同步开销的执行时间。

并行算法的空间复杂度

并行算法的空间复杂度考虑存储每个并行进程的数据和上下文所需的内存量。还需考虑处理器之间通信的开销。

6.2 并行算法的例子

并行归并排序 (Parallel Merge Sort):

将数组分成子数组，分别并行排序然后合并。

时间复杂度: O(n*log(n)/p), 其中 n 是数组的大小，p 是处理器的数量。

from multiprocessing import Pool

def merge_sort_parallel(arr, num_processes=None):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    if num_processes is None:
        num_processes = Pool()._processes
    with Pool(processes=num_processes) as pool:
        size = len(arr) // 2
        left, right = arr[:size], arr[size:]
        left, right = pool.map(merge_sort_parallel, [left, right])
        return merge(left, right)
            
def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result
            
# 示例用法
arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]
sorted_arr = merge_sort_parallel(arr)
print(sorted_arr)
            

但我们更关心的不是算法本身，而是它的“效率”分析。

6.3 并行算法的分析

基本概念：

1. 加速分析 (Speedup):
   • 顺序算法的执行时间与并行算法的执行时间的比值。
   • Speedup = T_seq / T_par, 其中 T_seq 是顺序算法的执行时间，T_par 是并行算法的执行时间。
2. 效率 (Efficiency):
   • 评估处理器使用的效率。
   • Efficiency = Speedup / P, 其中 P 是处理器的数量。
3. Amdahl's定律 (Amdahl's Law):
   • 决定并行化任务时能达到的最大加速。
   • Speedup_max = 1 / (S + (1 - S) / P), 其中 S 是任务的顺序部分比例，P 是处理器的数量。
4. Gustafson's定律 (Gustafson's Law):
   • 考虑增加处理器数量时任务大小的变化来定义加速。
   • Speedup = P - α * (P - 1), 其中 P 是处理器的数量，α 是任务的顺序部分比例。

6.4 并行算法的例子及复杂度

例子 1: 并行归并排序 (Parallel Merge Sort)

描述: 并行归并排序将数组分成子数组，分别并行排序每个子数组，然后合并排序过的子数组。

复杂度分析:

• 时间复杂度: O((n log n) / P), 其中 P 是处理器的数量。
• 空间复杂度: O(n) 用于存储中间数据。

例子 2: 并行数组搜索 (Parallel Search)

描述: 在数组中搜索元素的任务被分成多个子任务，每个子任务在一个单独的处理器上并行执行。

复杂度分析:

• 时间复杂度: O(n / P), 其中 P 是处理器的数量。
• 空间复杂度: O(1), 如果使用相同的数组。

例子 3: 并行矩阵乘法 (Parallel Matrix Multiplication)

描述: 矩阵被分成块，每对块在不同的处理器上并行相乘。

复杂度分析:

• 时间复杂度: O(n^3 / P), 其中 P 是处理器的数量。
• 空间复杂度: O(n^2) 用于存储中间结果。

6.5 并行算法的实现

工具和库：

1. OpenMP:
   • 针对 C、C++ 和 Fortran 的库，提供多线程应用程序开发工具。
2. MPI (Message Passing Interface):
   • 分布式系统并行编程标准，支持进程之间的消息传递。
3. CUDA:
   • NVIDIA 提供的平台和 API，用于开发利用 GPU（图形处理器）的并行程序。
4. Python 中的 Threading 和 multiprocessing:
   • Python 中用于创建多线程和多进程程序的模块。

并行算法通过将任务并行化到多个处理器或内核上，大大加速了计算。并行算法的复杂度分析包括对加速、效率的评估，以及使用 Amdahl 和 Gustafson 定律来理解并行化时能达到的最大加速。

并行算法在各种领域中得到了应用，从排序和搜索到复杂的数学计算，并需要使用专业工具和库来实现。

注意! 你不必沉迷于并行算法。首先，由于 Amdahl's Law，它们没有看上去的那么高效。其次，现在30个处理器的服务器每分钟处理3000个请求，我们依然在一个处理器上有 n 个任务，而不是 1 个任务用 n 个处理器来做。

再者，真正需要通过多处理器加速的任务都转移到 GPU（显卡）上了，并且代码是用像 C 这样的低级语言写的。