Force brute et sa complexité

7.1 Force brute.

Définition: La force brute (brute force) est une méthode de résolution de problèmes qui consiste à vérifier toutes les solutions possibles et choisir la meilleure. Elle garantit de trouver la solution optimale, mais elle est souvent inefficace en raison de sa haute complexité calculatoire.

Exemple: Considérons le problème du voyageur de commerce (Travelling Salesman Problem, TSP). Il s’agit de trouver le chemin le plus court passant par toutes les villes et revenant à la ville d'origine. La force brute inclut la vérification de toutes les permutations possibles des itinéraires, ce qui a une complexité temporelle factorielle O(n!).

Avantages :

• Simplicité de mise en œuvre.
• Garantie de trouver la solution optimale.

Inconvénients :

• Haute complexité calculatoire.
• Impraticabilité pour les problèmes de grande taille en raison de la croissance exponentielle du nombre de vérifications.

Exemple en Python pour le TSP :

import itertools

def calculate_distance(path, distance_matrix):
    return sum(distance_matrix[path[i - 1]][path[i]] for i in range(len(path)))
            
def tsp_brute_force(distance_matrix):
    n = len(distance_matrix)
    all_permutations = itertools.permutations(range(n))
    min_distance = float('inf')
    best_path = None
            
    for perm in all_permutations:
        current_distance = calculate_distance(perm, distance_matrix)
        if current_distance < min_distance:
            min_distance = current_distance
            best_path = perm
            
    return best_path, min_distance
            
# Exemple d'utilisation
distance_matrix = [
    [0, 10, 15, 20],
    [10, 0, 35, 25],
    [15, 35, 0, 30],
    [20, 25, 30, 0]
]
best_path, min_distance = tsp_brute_force(distance_matrix)
print(f"Meilleur chemin: {best_path} avec distance minimale: {min_distance}")
        

7.2 Problèmes de classe NP

La classe NP (non déterministe polynomial) inclut des problèmesdont les solutions peuvent être vérifiées en temps polynomial. Cependant, trouver la solution peut prendre un temps exponentiel.

En langage courant : Les problèmes NP sont des problèmes dont la meilleure solution ne peut être trouvée qu'en essayant toutes les options (temps exponentiel). Mais vérifier que la solution trouvée est la meilleure peut être fait plus rapidement (temps non exponentiel).

Caractéristiques principales :

• Vérification de la solution: Si une solution possible au problème est donnée, sa validité peut être vérifiée en temps polynomial.
• Problèmes NP-complets: Sous-ensemble de problèmes de la classe NP qui sont les plus difficiles dans NP. Si un algorithme polynomial existe pour résoudre au moins un problème NP-complet, alors tous les problèmes de la classe NP peuvent être résolus en temps polynomial.
• Problèmes NP-difficiles: Des problèmes dont la complexité n'est pas inférieure à celle de tout problème de la classe NP.

Exemples de problèmes NP-complets :

• Problème du voyageur de commerce (Travelling Salesman Problem, TSP): Trouver le chemin le plus court passant par toutes les villes.
• Problème du sac à dos (Knapsack Problem): Trouver un ensemble d'objets qui maximise la valeur sans dépasser un poids donné.
• Problème de couverture de sommets (Vertex Cover): Trouver le plus petit ensemble de sommets couvrant tous les arêtes du graphe.
• Problème de satisfiabilité des formules booléennes (Boolean Satisfiability Problem, SAT): Déterminer s'il existe un ensemble de variables qui satisfont une formule booléenne.

7.3 Conseils sur les approches pour résoudre des problèmes complexes

Si le meilleur solutionnement requiert un temps inacceptable, il est tout à fait possible de trouver une solution suffisamment bonne en un temps adéquat.

Algorithmes d'approximation :

• Utilisez des algorithmes approximatifs qui peuvent offrir une bonne solution, bien que pas toujours optimale, en un temps raisonnable.
• Exemple : Un algorithme glouton pour le problème du sac à dos fractionné.

Heuristiques :

• Appliquez des heuristiques, telles que les algorithmes à base de colonies de fourmis, les algorithmes génétiques et les algorithmes d'intelligence artificielle, pour trouver des solutions approximatives aux problèmes complexes.

Méthodes de décomposition de problèmes :

• Décomposez les problèmes en sous-problèmes plus petits et résolvez-les séparément.
• Exemple : Programmation dynamique pour le problème du sac à dos.

Utilisation d'algorithmes polynomiaux :

• Si possible, utilisez des algorithmes polynomiaux pour résoudre des sous-problèmes ou trouver des solutions partielles.
• Exemple : Dijkstra pour trouver le plus court chemin dans un graphe.

La force brute et les problèmes de classe NP sont des concepts essentiels dans la théorie des algorithmes et la complexité computationnelle. La force brute garantit de trouver la solution optimale, mais elle est souvent impraticable pour les grands problèmes. Les problèmes de classe NP incluent de nombreux problèmes importants qui ne peuvent être résolus en temps raisonnable qu'en utilisant des heuristiques et des méthodes approximatives.