5.1 Analisi della complessità degli algoritmi ricorsivi.
Gli algoritmi ricorsivi sono uno strumento potente per risolvere problemi complessi, permettendo di suddividerli in sottoproblemi più semplici. Tuttavia, l'analisi della complessità degli algoritmi ricorsivi può essere più complessa rispetto agli algoritmi iterativi. Gli aspetti principali da considerare nell'analisi degli algoritmi ricorsivi includono la complessità temporale e spaziale.
Queste valutazioni mostrano quanto tempo e memoria sono necessari per eseguire l'algoritmo in base alla dimensione dei dati di ingresso. L'analisi della complessità degli algoritmi ricorsivi spesso include la costruzione e la risoluzione di equazioni ricorrenti che descrivono il comportamento dell'algoritmo.
Complessità temporale degli algoritmi ricorsivi:
La complessità temporale degli algoritmi ricorsivi viene spesso analizzata utilizzando relazioni ricorrenti che descrivono il tempo di esecuzione dell'algoritmo in termini di tempo di esecuzione delle sue chiamate ricorsive.
Equazione ricorrente:
L'equazione ricorrente è un'equazione che esprime la complessità temporale dell'algoritmo in termini della sua complessità temporale per dimensioni di ingresso minori. Aiuta a descrivere i costi temporali di esecuzione di un algoritmo ricorsivo.
Esempi:
- T(n) = T(n − 1) + O(1)
- T(n) = 2T(2n) + O(n)
5.2 Esempi di problemi con algoritmi ricorsivi.
Esempio 1: Fattoriale di un numero
Consideriamo l'algoritmo per calcolare il fattoriale di un numero n:
def factorial(n):
if n == 0:
return 1
else:
return n * factorial(n - 1)
La relazione ricorrente per questo algoritmo può essere scritta come:
T(n) = T(n − 1) + O(1)
La soluzione di questa equazione dà:
T(n) = O(n)
Quindi, la complessità temporale dell'algoritmo per il fattoriale è O(n).
Esempio 2: Ordinamento rapido
Consideriamo l'algoritmo di ordinamento rapido:
def quicksort(arr):
if len(arr) <= 1:
return arr
pivot = arr[len(arr) // 2]
left = [x for x in arr if x < pivot]
middle = [x for x in arr if x == pivot]
right = [x for x in arr if x > pivot]
return quicksort(left) + middle + quicksort(right)
La relazione ricorrente per questo algoritmo nel caso medio:
- T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n)
La soluzione di questa equazione utilizzando il metodo del maestro dà
- T(n) = O(n * log(n))
5.3 Complessità spaziale degli algoritmi ricorsivi
La complessità spaziale degli algoritmi ricorsivi è determinata dalla somma della memoria utilizzata per memorizzare le variabili e della memoria utilizzata per lo stack delle chiamate. Negli algoritmi ricorsivi profondi può essere utilizzata una notevole quantità di memoria per memorizzare il contesto delle chiamate.
Esempio: Fibonacci
Consideriamo l'algoritmo per calcolare i numeri di Fibonacci:
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
else:
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
La relazione ricorrente per la complessità temporale:
- T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + O(1)
La soluzione di questa equazione dà:
- T(n) = O(2n)
O(n).
5.4 Metodi di analisi della complessità degli algoritmi ricorsivi
Metodi di analisi della complessità degli algoritmi ricorsivi
- Metodo della sostituzione:
- Utilizzato per stimare la forma della soluzione e provare per induzione.
- Esempio: Sostituzione per risolvere equazioni ricorrenti.
-
2. Metodo dell'albero della ricorsione:
- Visualizzazione delle chiamate ricorsive come un albero, dove ogni nodo rappresenta una chiamata di funzione.
- Esempio: Ordinamento rapido con chiamate ricorsive.
-
Metodo del maestro:
- Modello per l'analisi delle equazioni ricorrenti della forma: T(n) = a * T(n / b) + f(n)
- Esempio: Ordinamento rapido.
L'analisi della complessità degli algoritmi ricorsivi richiede la considerazione sia della complessità temporale che di quella spaziale. Comprendere le relazioni ricorrenti e applicare metodi di analisi come la sostituzione, il metodo dell'albero della ricorsione e il metodo del maestro aiutano a valutare con precisione le prestazioni degli algoritmi ricorsivi.
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