並列アルゴリズムとその複雑さ

6.1 並列アルゴリズム

並列アルゴリズムはマルチプロセッサやマルチスレッドのシステムでの実行のために設計されており、計算の速度を上げることを目的としています。これはタスクを独立したサブタスクに分割し、それらを同時に実行します。並列アルゴリズムの複雑さの分析では、時間的および空間的複雑さ、さらに加速、効率、スケーラビリティなどの要素を考慮する必要があります。

並列アルゴリズムの基本概念

• 並列性: タスクを同時に実行できる複数のサブタスクに分割すること。
• 加速 (Speedup): 逐次アルゴリズムの実行時間に対する並列アルゴリズムの実行時間の比率。
• 効率 (Efficiency): 加速をプロセッサの数で割ったもの。
• スケーラビリティ (Scalability): 増加するプロセッサ数を効果的に活用できる並列アルゴリズムの能力。

並列アルゴリズムの利点:

• 実行の加速: 並列処理によってタスクの実行が速くなる。
• リソースの効率的な利用: プロセッサとコアの最適な利用。
• 大規模タスクの解決: 大量のデータや複雑な計算を処理する能力、一つのプロセッサでは不可能または非常に遅いものを実現。

並列アルゴリズムの時間的複雑さ

並列アルゴリズムの時間的複雑さは、すべての並列サブタスクの実行とそれらの間の同期に費やされた時間を考慮して測定されます。これには以下が含まれます:

• 理論的時間複雑度: 無限の数のプロセッサでの理想的な実行時間。
• 実際の時間複雑度: プロセッサ数の制限と同期のオーバーヘッドを考慮した実行時間。

並列アルゴリズムの空間的複雑さ

並列アルゴリズムの空間的複雑さは、各並列プロセスのデータとコンテキストを保存するのに必要なメモリ量を考慮します。また、プロセッサ間のコミュニケーションのオーバーヘッドも考慮する必要があります。

6.2 並列アルゴリズムの例

並列マージソート (Parallel Merge Sort):

配列をサブ配列に分割し、それらを並列にソートして結合します。

時間的複雑さ: O(n*log(n)/p), ここで n は配列のサイズ、p はプロセッサの数。

from multiprocessing import Pool

def merge_sort_parallel(arr, num_processes=None):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    if num_processes is None:
        num_processes = Pool()._processes
    with Pool(processes=num_processes) as pool:
        size = len(arr) // 2
        left, right = arr[:size], arr[size:]
        left, right = pool.map(merge_sort_parallel, [left, right])
        return merge(left, right)
            
def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result
            
# 使用例
arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]
sorted_arr = merge_sort_parallel(arr)
print(sorted_arr)
            

ここではアルゴリズム自体ではなく、その「効率」に焦点を当ててみます。

6.3 並列アルゴリズムの分析

主な概念:

1. 加速の分析 (Speedup):
   • 逐次アルゴリズムの実行時間に対する並列アルゴリズムの実行時間の比率。
   • Speedup = T_seq / T_par, ここで T_seq は逐次アルゴリズムの実行時間で、T_par は並列アルゴリズムの実行時間です。
2. 効率 (Efficiency):
   • プロセッサの利用効率の評価。
   • Efficiency = Speedup / P, ここで P はプロセッサの数です。
3. アムダールの法則 (Amdahl's Law):
   • タスクの並列化で達成できる最大の加速を定義します。
   • Speedup_max = 1 / (S + (1 - S) / P), ここで S はタスクの逐次部分の割合、P はプロセッサの数です。
4. グスタフソンの法則 (Gustafson's Law):
   • プロセッサ数の増加に伴うタスクのサイズ変更を考慮したスピードアップを定義します。
   • Speedup = P - α * (P - 1), ここで P はプロセッサの数、α はタスクの逐次部分の割合です。

6.4 並列アルゴリズムの例とその複雑さ

例1: 並列マージソート (Parallel Merge Sort)

説明: 並列マージソートは配列をサブ配列に分割し、各サブ配列を並列にソートし、その後ソートされたサブ配列を統合します。

複雑さの分析:

• 時間的複雑さ: O((n log n) / P), ここで P はプロセッサの数。
• 空間的複雑さ: O(n) 中間データの保存用。

例2: 並列配列検索 (Parallel Search)

説明: 配列での要素検索タスクをいくつかのサブタスクに分割し、それぞれが個別のプロセッサで並列に実行されます。

複雑さの分析:

• 時間的複雑さ: O(n / P), ここで P はプロセッサの数。
• 空間的複雑さ: O(1), 同じ配列を使用する場合。

例3: 並列行列乗算 (Parallel Matrix Multiplication)

説明: 行列をブロックに分割し、各ブロックのペアを別々のプロセッサで並列に乗算します。

複雑さの分析:

• 時間的複雑さ: O(n^3 / P), ここで P はプロセッサの数。
• 空間的複雑さ: O(n^2) 中間結果の保存用。

6.5 並列アルゴリズムの実装

ツールとライブラリ:

1. OpenMP:
   • C, C++ および Fortran 用のライブラリであり、マルチスレッドアプリケーションの開発手段を提供。
2. MPI (Message Passing Interface):
   • 分散システムでの並列プログラミングの標準であり、プロセス間のメッセージ交換をサポート。
3. CUDA:
   • NVIDIA によるプラットフォームおよび API で、グラフィックスプロセッサ (GPU) を使用した並列プログラムの開発をサポート。
4. Python における Threading と multiprocessing:
   • Python でのマルチスレッドおよびマルチプロセスプログラムの作成モジュール。

並列アルゴリズムは、複数のプロセッサやコアにタスクを分散することで計算を大幅に加速することができます。並列アルゴリズムの複雑さの分析には、加速、効率性の評価と並列化で達成可能な最大の加速を理解するための アムダールの法則とグスタフソンの法則が含まれます。

並列アルゴリズムは、ソートや検索から複雑な数学的計算まで様々な分野で応用されており、その実装には専門的なツールやライブラリを使用する必要があります。

重要! 並列アルゴリズムに夢中になりすぎる必要はありません。まず第一に、アムダールの法則によると、それほど効果的ではないことが判明します。第二に、現在のサーバーは30プロセッサで毎分3000リクエストを処理しており、n タスクを 1 プロセッサで処理しています。1つのタスクを n プロセッサで処理するのではありません。

第三に、マルチプロセッシングによって加速する必要のある実際のタスクはすべてGPU（グラフィックカード）に移行しており、低レベル言語の C などでそのコードを書いています。