圖論

1.1 圖的定義及組成部分

圖 是一種數據結構，由一組頂點（或節點）和一組邊（或弧）組成，這些邊連接著頂點。圖廣泛用於模擬和表示各種對象及其相互關係。

圖的主要組成部分：

頂點：

• 圖中的元素，表示對象。
• 表示為 V（頂點集合）。
• 例如，V = {A, B, C, D}。

邊：

• 頂點之間的連接，代表著關係或聯繫。
• 表示為 E（邊集合）。
• 例如，E = {(A, B), (B, C), (C, D), (A, D)}。

圖的主要特徵：

頂點的度數：

• 與給定頂點相連的邊的數量。
• 在無向圖中，頂點的度數是與該頂點連接的邊的數量。
• 在有向圖中，區分入度和出度。

圖中的路徑：

• 連接一系列頂點的邊的序列。
• 例如，從 A 到 D 的路徑：A → B → C → D。

圖中的循環：

• 以同一頂點為起點和終點的路徑。
• 例如，循環：A → B → C → A。

1.2 圖的類型

圖的種類很多，但其中一些有趣的子類別可以突出顯示：

1. 無向圖：

該圖的邊沒有方向，即兩個頂點之間的連接可以雙向通行。

例子：

社交網絡，其中節點代表人，邊代表他們之間的友誼關係。

2. 有向圖：

圖的邊具有方向（通常用箭頭表示），即兩個頂點之間的連接只能單向通行。

例子：

網頁鏈接圖，其中節點是頁面，邊是它們之間的鏈接。

3. 加權圖：

邊有權重（數字），可以代表距離、成本或其他指標。

例子：

道路圖，其中節點是城市，邊是道路的長度或行程成本。

4. 混合圖：

包含有向邊和無向邊。

例子：

運輸系統，其中有些道路是雙向的，有些是單向的。

5. 平面圖：

可以在平面上繪製而不會交叉其邊的圖。

例子：

城市中的道路圖（不含隧道）。

6. 連通圖：

在圖中，存在任何頂點對之間的路徑。

例子：

代表城市網絡的圖，其中每對城市都有道路相連。

7. 無循環圖：

不包含循環的圖。

例子：

表示文件系統結構的樹。

1.3 圖的應用例子

1. 社交網絡：

• 節點代表人物，邊代表他們之間的友誼關係。
• 用於分析關係、發現社區、用戶影響力等。

2. 互聯網和路由：

• 節點代表路由器或計算機，邊代表它們之間的連接。
• 用於尋找數據傳輸的最佳路徑。

3. 基因組學：

• 節點代表基因或蛋白質，邊代表它們之間的互動。
• 用於分析基因數據、尋找模式等。

4. 物流和運輸：

• 節點代表城市或運輸樞紐，邊代表道路或路徑。
• 用於優化配送路徑、最小化成本等。

5. 計算機網絡：

• 節點代表設備或伺服器，邊代表它們之間的連接。
• 用於設計和管理網絡。

6. 數據分析和機器學習：

圖用於表示和分析數據、尋找集群、創建推薦系統等等。