DP 在實際問題中的應用

7.1 動態算法的優化。

動態算法的優化旨在改善其時間和空間效率。 有多種優化方法， 包括使用備忘錄化 (memoization)、減少內存使用量以及 優化遞歸。

1. 備忘錄化：

備忘錄化是一種技術，通過存儲計算結果來避免對相同子任務的重複計算。

例子：

在硬幣兌換問題中，如果使用遞歸方法，可以 存儲已計算金額的結果，以避免重複計算。

def fibonacci(n, memo={}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 2:
        return 1
    memo[n] = fibonacci(n - 1, memo) + fibonacci(n - 2, memo)
    return memo[n]
        
        

2. 表格解決方案 (Bottom-Up)：

表格解決方案 (bottom-up) 构建從基礎案例到目標任務的所有可能子任務的解決方案表。 這可以避免遞歸調用的開銷。

例子：

在背包問題中，建立最少硬幣數量的表格 從 0 到 S 的每一個金額。

def fibonacci(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = dp[2] = 1
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]
        
        

3. 減少內存使用：

在某些問題中，可以通过减少表格或数组的大小来优化内存使用 用於存儲中間結果。

例子：

在背包問題中，可以使用一維數組代替二維表，如果只存儲當前和前一行。

def knapsack_optimized(weights, values, W):
    n = len(weights)
    dp = [0] * (W + 1)
    for i in range(n):
        for w in range(W, weights[i] - 1, -1):
            dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i])
    return dp[W]
        
        

4. 尾遞迴：

尾遞迴是函數末尾進行的遞迴調用。這允許編譯器或解釋器優化調用堆棧。

例子：

在計算斐波那契數列的問題中，可以使用帶累積計數器的尾遞迴。

7.2 動態編程在實際問題中的應用。

動態編程在各個領域得到了廣泛應用，包括計算機科學、經濟學、生物信息學和 運營研究。 以下是其在實際問題中的一些應用示例：

1. 路徑優化和物流：

在物流和運輸系統問題中，動態編程 用於尋找最佳路徑並降低成本。

例子：

商旅問題 (Travelling Salesman Problem, TSP) — 找到經過所有城市的最短路徑。

def tsp(graph, start):
    n = len(graph)
    dp = [[None] * (1 << n) for _ in range(n)]

    def visit(city, visited):
        if visited == (1 << n) - 1:
            return graph[city][start]
        if dp[city][visited] is not None:
            return dp[city][visited]
        result = float('inf')
        for next_city in range(n):
            if visited & (1 << next_city) == 0:
                result = min(result, graph[city][next_city] + visit(next_city, visited | (1 << next_city)))
        dp[city][visited] = result
        return result

    return visit(start, 1 << start)

2. 生物信息學中的序列對齊：

在生物信息學中，動態編程用於對齊DNA、RNA和蛋白質序列。

例子：

Needleman-Wunsch算法用于全局序列对齐和Smith-Waterman算法用于局部对齐。

def lcs(X, Y):
    m, n = len(X), len(Y)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if X[i - 1] == Y[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[m][n]
        

3. 財務計算和經濟規劃：

動態編程應用於優化投資組合、風險管理和生產規劃。

例子：

硬幣兌換問題和背包問題用于資產管理和資源分配的最佳化。

4. 庫存和生產管理：

在生產和存貨管理中，動態編程有助於優化過程並降低成本。

例子：

庫存管理模型用于最小化存儲和訂購成本。

5. 機器學習和人工智慧：

在機器學習中，動態編程用於優化算法和尋找全局最優。

例子：

基於動態編程的學習算法，例如神經網絡中的反向傳播方法。