並行算法及其複雜性

6.1 並行算法。

並行算法是為了在多處理器或多線程系統上運行，以加速計算。它們將任務拆分為獨立的子任務，同時運行。分析並行算法的複雜性需要考慮時間和空間複雜度，以及加速、效率和可擴展性等因素。

並行算法的主要概念

• 並行: 將任務分成多個可以同時運行的子任務。
• 加速 (Speedup): 順序算法的執行時間與並行算法的執行時間的比值。
• 效率 (Efficiency): 加速與處理器數量的比值。
• 可擴展性 (Scalability): 並行算法有效利用增加的處理器數量的能力。

並行算法的優勢：

• 加快執行: 通過並行化的工作來更快地完成任務。
• 有效利用資源: 優化處理器和內核的使用。
• 解決大型任務: 可以處理大型數據量和複雜的計算，這在單個處理器上是不可能的或非常緩慢。

並行算法的時間複雜度

並行算法的時間複雜度是考慮所有並行子任務和它們之間同步所花費的時間。它包括：

• 理論時間複雜度: 在無限處理器數量上的理想執行時間。
• 實際時間複雜度: 考慮處理器數量限制和同步開銷的執行時間。

並行算法的空間複雜度

並行算法的空間複雜度考慮到儲存每個並行過程的數據和上下文所需的內存量。還要考慮處理器之間的通信開銷。

6.2 並行算法示例

並行排序整合 (Parallel Merge Sort):

將數組分成子數組，並行地對它們進行排序，然後合併。

時間複雜度: O(n*log(n)/p), 其中 n 是數組大小, p 是處理器數量。

from multiprocessing import Pool

def merge_sort_parallel(arr, num_processes=None):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    if num_processes is None:
        num_processes = Pool()._processes
    with Pool(processes=num_processes) as pool:
        size = len(arr) // 2
        left, right = arr[:size], arr[size:]
        left, right = pool.map(merge_sort_parallel, [left, right])
        return merge(left, right)
            
def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result
            
# 使用示例
arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]
sorted_arr = merge_sort_parallel(arr)
print(sorted_arr)
            

但我們感興趣的不是算法本身，而是它的“效率”分析。

6.3 並行算法分析

主要概念：

1. 加速分析 (Speedup):
   • 順序算法的執行時間與並行算法的執行時間的比值。
   • Speedup = T_seq / T_par, 其中 T_seq 是順序算法的執行時間, T_par 是並行算法的執行時間。
2. 效率 (Efficiency):
   • 處理器使用效率的評估。
   • Efficiency = Speedup / P, 其中 P 是處理器數量。
3. 安達爾定律 (Amdahl's Law):
   • 確定任務並行化時能夠達到的最大加速。
   • Speedup_max = 1 / (S + (1 - S) / P), 其中 S 是任務的順序部分，P 是處理器數量。
4. 古斯塔夫森定律 (Gustafson's Law):
   • 考慮到增加處理器數量時任務大小的變化，來確定加速。
   • Speedup = P - α * (P - 1), 其中 P 是處理器數量，α 是任務的順序部分。

6.4 並行算法的示例及其複雜性

示例 1: 並行排序整合 (Parallel Merge Sort)

描述: 並行排序整合把數組分成子數組，並行地對每個子數組進行排序，然後合併排序後的子數組。

複雜性分析：

• 時間複雜度: O((n log n) / P), 其中 P 是處理器數量。
• 空間複雜度: O(n) 用於存儲中間數據。

示例 2: 並行數組搜索 (Parallel Search)

描述: 數組中搜尋元素的任務被分成幾個子任務，這些子任務在單獨的處理器上並行執行。

複雜性分析：

• 時間複雜度: O(n / P), 其中 P 是處理器數量。
• 空間複雜度: O(1), 如果使用同一數組。

示例 3: 並行矩陣乘法 (Parallel Matrix Multiplication)

描述: 將矩陣劃分為塊，每對塊在不同的處理器上並行相乘。

複雜性分析：

• 時間複雜度: O(n^3 / P), 其中 P 是處理器數量。
• 空間複雜度: O(n^2) 用於存儲中間結果。

6.5 並行算法的實現

工具和庫：

1. OpenMP:
   • 一個用於 C, C++ 和 Fortran 的庫，提供多線程應用程式開發的手段。
2. MPI (Message Passing Interface):
   • 用於分布式系統上並行編程的標準，支持進程間消息交換。
3. CUDA:
   • NVIDIA 開發的使用 GPU 的並行程序的平臺和 API。
4. Threading 和 multiprocessing 在 Python 中:
   • 用於在 Python 中創建多線程和多進程程序的模塊。

並行算法通過將任務拆分為多個處理器或內核，顯著加速計算。並行算法的複雜性分析包括對加速、效率的評估，以及使用 安達爾定律和古斯塔夫森定律來理解並行化時可達到的最大加速。

並行算法應用於不同領域，從排序和搜索到複雜的數學計算，需要使用 專門的工具和庫來實現。

重要！ 你不需要過於專注並行算法。首先，由於安達爾定律，它們不如看起來那麼有效。其次，現在有30個處理器的服務器以每分鐘3000個請求運行，我們仍然有n個任務對1個處理器，而不是1個任務對n個處理器。

第三，真正需要通過多處理器性來加速的任務都已經轉移到 GPU（顯卡）上，他們的代碼是使用諸如 C 的低級語言編寫的。