Komplexität von rekursiven Algorithmen

5.1 Analyse der Komplexität von rekursiven Algorithmen.

Rekursive Algorithmen sind ein mächtiges Werkzeug, um komplexe Aufgaben zu lösen, indem sie in einfachere Teilprobleme zerlegt werden. Die Analyse der Komplexität rekursiver Algorithmen kann jedoch schwieriger sein als bei iterativen Algorithmen. Die Hauptaspekte, die bei der Analyse rekursiver Algorithmen berücksichtigt werden müssen, sind die Zeit- und Speicherkomplexität.

Diese Bewertungen zeigen, wie viel Zeit und Speicherplatz ein Algorithmus abhängig von der Größe der Eingabedaten benötigt. Die Analyse der Komplexität rekursiver Algorithmen beinhaltet oft das Erstellen und Lösen von rekurrenten Gleichungen, die das Verhalten des Algorithmus beschreiben.

Zeitkomplexität von rekursiven Algorithmen:

Die Zeitkomplexität rekursiver Algorithmen wird oft mit Hilfe von rekurrenten Beziehungen analysiert, die die Ausführungszeit des Algorithmus durch die Ausführungszeit seiner rekursiven Aufrufe beschreiben.

Rekurrente Gleichung:

Eine rekurrente Gleichung ist eine Gleichung, die die Zeitkomplexität eines Algorithmus durch seine Zeitkomplexität für kleinere Eingabedaten ausdrückt. Sie hilft, die zeitlichen Kosten für die Ausführung eines rekursiven Algorithmus zu beschreiben.

Beispiele:

• T(n) = T(n − 1) + O(1)
• T(n) = 2T(2n) + O(n)

5.2 Beispiele von Aufgaben mit rekursiven Algorithmen.

Beispiel 1: Faktorielle einer Zahl

Betrachten wir den Algorithmus zur Berechnung der Faktorielle einer Zahl n:

def factorial(n):
    if n == 0:

        return 1

    else:

        return n * factorial(n - 1)
        

Die rekurrente Beziehung für diesen Algorithmus kann wie folgt geschrieben werden:

T(n) = T(n − 1) + O(1)

Die Lösung dieser Gleichung ergibt:

T(n) = O(n)

Somit beträgt die Zeitkomplexität des Faktorialalgorithmus O(n).

Beispiel 2: Quicksort

Betrachten wir den Quicksort-Algorithmus:

def quicksort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    pivot = arr[len(arr) // 2]

    left = [x for x in arr if x < pivot]

    middle = [x for x in arr if x == pivot]

    right = [x for x in arr if x > pivot]

    return quicksort(left) + middle + quicksort(right)
        

Die rekurrente Beziehung für diesen Algorithmus im Durchschnittsfall:

• T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n)

Die Lösung dieser Gleichung mit der Master-Methode gibt:

• T(n) = O(n * log(n))

5.3 Speicherkomplexität von rekursiven Algorithmen

Die Speicherkomplexität rekursiver Algorithmen wird als die Summe aus dem Speicher für die Variablen und dem Speicher für den Aufrufstack bestimmt. In tief rekursiven Algorithmen kann eine beträchtliche Menge Speicher für die Speicherung des Kontextes der Aufrufe verwendet werden.

Beispiel: Fibonacci

Betrachten wir den Algorithmus zur Berechnung von Fibonacci-Zahlen:

def fibonacci(n):
    if n <= 1:

        return n

    else:

        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
        

Die rekurrente Beziehung für die Zeitkomplexität:

• T(n) = T(n − 1) + T(n − 2) + O(1)

Die Lösung dieser Gleichung ergibt:

• T(n) = O(2n)

Die Speicherkomplexität wird durch die maximale Tiefe der rekursiven Aufrufe bestimmt, die in diesem Fall O(n) beträgt.

5.4 Methoden zur Analyse der Komplexität von rekursiven Algorithmen

Methoden zur Analyse der Komplexität von rekursiven Algorithmen

1. Substitutionsmethode:
• Wird verwendet, um die Form der Lösung zu vermuten und durch Induktion zu beweisen.
• Beispiel: Substitution zur Lösung rekurrenter Gleichungen.
2. 2. Rekursionbaum-Methode:
   • Visualisierung der rekursiven Aufrufe in Form eines Baumes, bei dem jeder Knoten einen Funktionsaufruf darstellt.
   • Beispiel: Quicksort mit rekursiven Aufrufen.
3. Master-Methode:
   • Vorlage zur Analyse rekurrenter Gleichungen der Form: T(n) = a * T(n / b) + f(n)
   • Beispiel: Quicksort.

Die Analyse der Komplexität rekursiver Algorithmen erfordert die Berücksichtigung sowohl der Zeit- als auch der Speicherkomplexität. Das Verstehen rekurrenter Beziehungen und die Anwendung von Analysemethoden wie Substitution, Rekursionbaum-Methode und Master-Methode helfen dabei, die Leistung rekursiver Algorithmen genau zu bewerten.